بردارها در فضاي سه بعدي و هندسه تحلیلی فضایی 1 3 بردارها در فضاي سه بعدي دستگاه مختصات استوانه اي توابع چند متغیره 26

Transcript

1 1

2 2

3 2 : DFLG 3

4 4

5 فهرست مطالب 1 بردارها در فضاي سه بعدي و هندسه تحلیلی فضایی 1 3 بردارها در فضاي سه بعدي حاصلضرب نقطه اي در. V ۳ تمرینات توابع برداري و منحنی ها دستگاه مختصات استوانه اي دستگاه مختصات کروي تمرینات توابع چند متغیره تمرینات پیوستگی توابع چند متغیره مشتق نسبی مشتق تابع دو متغیره مشتق گیري ضمنی قاعده زنجیري تمرینات مشتق جهتی الف

6 9.3 تمرینات سطوح - رویه تمرینات انتگرال منحنی الخط تعیین یک تابع از روي گرادیان آن انتگرال منحنی الخط تمرینات انتگرال دوگانه نحوه محاسبه انتگرال دوگانه انتگرال دوگانه در مختصات قطبی نحوه محاسبه انتگرال دوگانه در مختصات قطبی تغییر متغیر در انتگرال دوگانه تبدیل انتگرال دوگانه در دستگاه مختصات دکارتی به قطبی تبدیل انتگرال سه گانه در دستگاه مختصات دکارتی به کروي محاسبه مساحت رویه مساحت رویه حاصل از دوران قضایاي گرین - استوکس - دیورژانس مقدمات قضیه استوکس در صفحه قضیه دیورژانس در صفحه تمرینات تمرینات دوره اي بردار خط و صفحه ب

7 77 تابع برداري دامنه توابع چند متغیره حد توابع چند متغیره مشتق نسبی مشتق سوي ی انتگرال منحنی الخط انتگرال دوگانه سطوح - رویه 9.7 منابع 87 پ

8 ت

9 فصل 1 بردارها در فضاي سه بعدي و هندسه تحلیلی تعریف 1.1. فضاي سه بعدي اعداد بصورت زیر تعریف میشود: R ۳ = {(, y, z) :, y, z R} z (,y,z) 0 z y y Figure قضیه 2.1. یک خط موازي با صفحه yz است اگر وتنها اگر مختص تمام نقاط واقع بر آن خط یکی باشد.(بقیه موارد بصورت دوري بدست می آید.) قضیه 3.1. یک خط با محور ها موازي است اگر وتنها اگر تمام نقاط خط داراي مختص y وz یکسان باشند.(بقیه حالات بصورت دوري.) قضیه.4.1 فاصله غیر جهت دار بین دو نقطه z) A (, y, و ) z B (z, y, از رابطه زیر بدست می آید : 1

10 AB = ( ) ۲ + (y y ) ۲ + (z z ) ۲. تبصره 5.1. در حالت خاص یعنی در خط حقیقی R فرمول فوق بصورت زیر درمی آید: AB =. مختصات نقطه وسط پاره خطی که نقاط انتهاي آن z) A (, y, و ) z B (z, y, هستند بصورت X = + ۲ Y = y+y ۲ Z = z+z ۲ بدست می آید. تعریف 6.1. نمودار یک معادله در R ۳ را یک رویه می نامیم. تعریف 7.1. کره مجموعه تمام نقاطی از فضاي سه بعدي است که از یک نقطه ثابت به یک فاصله باشند. نقطه ثابت را مرکز کره و اندازه فاصله ثابت را شعاع کره گویند. تعریف 8.1. معادله کره اي به شعاع r که مرکزش در (γ,α),β قرار دارد عبارتست از ( α) ۲ + (y β) ۲ + (z γ) ۲ = r ۲ 2

11 z =r z 0 =r 0 0 y 0 ( 0,y 0,z 0 ) (a) radius r, center (0,0,0) 0 (b) radius r, center ( 0,y 0,z 0 ) y قضیه 9.1. نمودار معادله درجه دوم زیر ۲ + y ۲ + z ۲ + G + My + Iz + J = ۰ یا کره یا نقطه و یا مجموعه تهی است. 1.1 بردارها در فضاي سه بعدي تعریف یک بردار در فضاي سه بعدي یک سه تایی مرتب از اعداد حقیقی z,,y است. اعداد,,y z را مولفه هاي بردار گویند. لذا طبق قرارداد فرض می کنیم: V ۳ = {, y, z :, y, z R} هر بردار v واقع در R ۳ را میتوان بوسیله یک پاره خط جهت دار نمایش داد. اگر c A =,a,b آنگاه پاره خط جهت داري را که نقطه ابتدایی آن مبدأ و نقطه انتهایی آن نقطه (c,a),b باشند نمایش موضع v می نامند. به همین ترتیب هر پاره خط جهت داري که ابتدایش در (z,),y و انتهایش در (c ) + a, y +,b z + باشد نیز نمایشی از 3

12 بردار v است. بردار صفر بردار ۰,۰,۰ است که با O نمایش میدهیم. طول یا بزرگی یک برداري مثل c v =,a,b از رابطه زیر بدست می آید: v = a ۲ + b ۲ + c ۲. جهت بردار ناصفر در v با سه زاویه موسوم به زاویه هاي هادي بردار تعیین می شود. در واقع زاویه هاي هادي یک بردار ناصفر عبارتند از سه زاویه اي که کوچکترین اندازه هاي رادیانی نامنفی,α,β γ را دارند اگر از قسمت مثبت محورهاي,,y z تا نمایش موضع بردار اندازه گیري شوند. اندازه رادیانی هریک از زاویه هاي هادي یک بردار از صفر کمتر و از π بیشتر نیست. z ç å y با توجه به شکل مشاهده می شود که cos α = a v, cos β = b v, cos γ = c v سه عدد cos α و cos β و cos γ را کسینوسهاي هادي بردار v می نامند. تبصره بردار صفر هیچ زاویه هادي ندارد و لذا کسینوس هادي هم ندارد. قضیه با توجه به شرایط فوق ثابت کنید: cos ۲ α + cos ۲ β + cos ۲ γ = ۱ تعریف بردار v را یکه گویند هرگاه = ۱ v. 4

13 تمرین.14.1 نشان دهید قضیه فوق تعمیمی است از فرمول = ۱ α sin ۲ α + cos ۲ از صفحه R ۲ به فضاي R ۳ سپس آنرا به فضاي n -بعدي R n تعمیم دهید. تعریف.15.1 فرض کنید c A = a, b, و c B = a, b, باشد در اینصورت طبق تعریف : A + B = a + a, b + b, c + c A = a, b, c A B = A + ( B) ka = ka, kb, kc اگر k یک اسکالر باشد یعنی k R در اینصورت ka را حاصلضرب اسکالر و عمل مربوط را ضرب اسکالر می نامند. تمرین موارد فوق در تعریف را تعبیر هندسی نماي ید. تمرین.17.1 فرض کنید c A = a, b, ۰ که داراي کسینوسهاي هادي cos α, cos β و cos γ و k ۰ یک اسکالر باشد. و همین طور ka داراي کسینوسهاي هادي cos α ۱, cos β ۱ و cos γ ۱ باشد چه رابطه اي بین کسینوسهاي A و ka وجود دارد.سپس روابط موجود را به ازاي > ۰ k و < ۰ k تعبیر کنید. قضیه.18.1 اگر A, B, C V ۳ و c, d اسکالر دلخواه باشند در اینصورت: الف - A A + B = B + ب - C A + (B + C) = (A + B) + O V ۳ پ - A A + O = A V ۳ ت - O A + ( A) = ث - (da) (cd) A = c ج - cb c (A + B) = ca + چ - da (c + d) A = ca + ح - A R) ۱ (A) =.(۱ تبصره V ۳.19.1 یک فضاي برداري حقیقی است. سه بردار واحد ۱ ۰, ۰, = k و ۰ ۰, ۱, = j و ۰ ۱, ۰, = i پایه اي براي V ۳ تشکیل می دهند. 5

14 A = a ۱, a ۲, a ۳ V ۳ a ۱, a ۲, a ۳ = a ۱ ۱, ۰, ۰ + a ۲ ۰, ۱, ۰ + a ۳ ۰, ۰, ۱ A = a ۱, a ۲, a ۳ = a ۱ i + a ۲ j + a ۳ k A = A (cos αi + cos βj + cos γk). تمرین نشان دهید قضیه.21.1 اگر A = a ۱ i + a ۲ j + a ۳ k ۰ آنگاه بردار واحد U هم جهت با بردار A عبارتست از : U = a ۱ A i + a ۲ A j + a ۳ A k. اثبات. = ۱. U 2.1 حاصلضرب نقطه اي در V ۳ تعریف.22.1 فرض کنید ۳ A = a ۱, a ۲, a و ۳ B = b ۱, b ۲, b در اینصورت ضرب داخلی یا نقطه اي دو بردار A و B را با A B نشان داده و بصورت زیر تعریف می کنیم : A B = a ۱ b ۱ + a ۲ b ۲ + a ۳ b ۳ تمرین نشان دهید : i i = j j = k k = ۱ i j = j k = k i = ۰ قضیه.24.1 اگر A, B, C V ۳ و k اسکالر دلخواه باشند آنگاه : الف - A A B = B 6

15 ب - C A (B + C) = A B + A پ - B k(a B) = (ka) ت - ۰ = A O ث - ۲ A. A A = قضیه اگرα اندازه زاویه بین دو بردار,A B V ۳ ۰ بر حسب رادیان باشد آنگاه A B = A B cos α. U = A در اینصورت U B = B cos α و B cos α تصویر اسکالر B روي A است. A تبصره اگر R B P a B cos a S A Q V ( ) ( ) ( ) یادآوري - OA AB = V OB V تمرین.27.1 فاصله نقطه ۶) (۴, ۱, = P تا خط ماربرنقاط ۲) (۸, ۳, = A و ۵) ۳, (۲, = B را بیابید. تعریف دو بردار ناصفر در V ۳ را متوازي گویند هرگاه یکی مضرب اسکالر از دیگري باشد. قضیه دو برار ناصفر در V ۳ متوازیند اگر و تنها اگر اندازه رادیانی زاویه بین آنها صفر یا π باشد. تعریف.30.1 فرض کنید A, B V ۳ را متعامد گویند اگر و تنها اگر = ۰ B A A B A B = ۰. 7

16 تعریف تعریف صفحه - اگر N یک بردار ناصفر مفروض و P ۰ یک نقطه مفروض باشد آنگاه مجموعه تمام نقاطی چون P که به ازاي آنها P ۰ P و N متعامد باشند بنا بر تعریف یک صفحه مار P ۰ بر است که N یک بردار قاي م آن است. قضیه.32.1 اگر ) ۰ P ۰ = ( ۰, y ۰, z نقطه اي از یک صفحه و c N = a, b, بردار قاي م صفحه باشند آنگاه معادله صفحه عبارتست از : a( ۰ ) + b(y y ۰ ) + c(z z ۰ ) = ۰ اثبات. با توجه به شکل روبرو داریم: N V ( ) P۰ P = ۰, y y ۰, z z ۰ V ( ) P۰ P N = ۰ ( ۰ ) a + (y y ۰ ) b + (z z ۰ ) c = ۰ اما طبق تعریف صفحه: 8

17 قضیه.33.1 اگر a, b, c همه صفر نباشند نمودار معادله اي بصورت = ۰ d a + by + cz + صفحه ایست که c,a,b یک بردار قاي م بر آن است. معادلات صفحه در دو قضیه قبل را معادله دکارتی صفحه می نامند. تمرین صفخه را چگونه میتوان رسم کرد. صفحه = ۰ ۶z ۳ + ۲y را رسم کنید. تعریف زاویه بین دو صفحه - زاویه بین بردارهاي قاي م دو صفحه را زاویه بین دو صفحه می گویند. مثال.36.1 اندازه رادیانی زاویه بین دو صفحه = ۰ ۱۲ ۵z ۵ ۲y + و = ۰ ۱۱ + ۷z ۲ + y را بیابید. تعریف دو صفحه متوازي - دو صفحه متوازیند اگر و تنها اگر بردارهاي قاي مشان متوازي باشند. بعبارتی دو صفحه = ۰ ۱ a ۱ + b ۱ y + c ۱ z + d و = ۰ ۲ a ۲ + b ۲ y + c ۲ z + d با هم موازیند هرگاه اگر ۱ N ۱ = a ۱, b ۱, c و ۲ N ۲ = a ۲, b ۲, c آنگاه N ۱ = kn ۲ که k عدد ثابتی است و بالعکس. تعریف تعریف دو صفحه متعامد - دو صفحه متعامدند اگر و تنها اگر بردارهاي قاي مشان متعامد باشند. لذا طبق توضیحات فوق شرط تعامد اینست که = ۰ ۲ N ۱ N تمرین فاصله یک نقطه از صفحه و فاصله دو صفحه موازي را بدست آورید. تعریف.40.1 تعریف خط - بر خط L در R ۳ نقطه ) ۰ P ۰ = ( ۰, y ۰, z را مدنظر میگیریم که موازي با بردار ( ) c R = a, b, باشد. خط L را مجموعه همه نقاطی چون z) P۰ = (, y, در نظر میگیریم بطوریکه V P۰ P با بردار R موازي باشد. بعبارتی R P ۰ P t R P ۰ P = tr. V می باشد لذا داریم : ( ) حال چون ۰ P۰ P = ۰, y y ۰, z z 9

18 ۰ = at, y y ۰ = bt, z z ۰ = ct = ۰ + at, y = y ۰ + bt, z = z ۰ + ct. معادلات فوق به معادلات پارامتري خط موسوم است. اگر,c,b a هر سه مخالف صفر باشد در اینصورت از معادلات فوق داریم ۰ a = y y ۰ b = z z ۰ c = t رابطه فوق به معادلات متقارن خط موسوم اند. تمرین اگر یکی یا دو تا از مولفه هاي بردار c R =,a,b صفر باشند در اینصورت معادله خط را چگونه توصیف می کنید. مثال.42.1 معادله محور عبارتست از = ۰ z.y = ۰, تمرین معادله محور yها و zها را بدست آورید. تمرین تعریف دو خط موازي متعامد و زاویه بین دو خط را بدست آورید. تمرین معادله خطی را که از نقطه (۱,۱,۱) عبور و بر خط ۳ = ۲y = z عمود و موازي با صفحه = ۰ z + y می باشد را بنویسید. تعریف.46.1 تعریف حاصلضرب برداري - اگر c A = a, b, و z B =, y, در اینصورت حاصلضرب برداري A B = را با A B نشان داده و بصورت زیر تعریف می کنیم : i j k a b c y z 10

19 و یا بصورت : A B = bz yc, c az, ay b قضیه.47.1 اگر A V ۳ آنگاه الف - O A A = ب - O O A = پ - O.A O = i j = k j k = i k i = j تمرین.48.1 نشان دهید : ۰ = k i i = j j = k j i = k k j = i i k = j تبصره ضرب برداري خاصیت تعویض پذیري ندارد (i i) j j ضرب برداري شرکت پذیر نیست i (i j) (i i) j A B = B A. قضیه.50.1 اگر A, B V ۳ در اینصورت : A (B + C) = A B + A C قضیه.51.1 اگر A, B, C V ۳ در اینصورت : قضیه اگر,A B V ۳ و c یک اسکالر باشد در اینصورت : الف - (cb) (ca) B = A ب - B) (ca) B = c (A قضیه.53.1 اگر A, B V ۳ آنگاه A B ۲ = A ۲ + B ۲ (A.B) ۲ 11

20 اثبات. فرض کنید c B =, y, z A = a, b, با محاسبه A B, A, B, A B دو طرف یکسان در می آیند قضیه اگر,A B V ۳ و α زاویه بین A و B بر حسب رادیان باشد آنگاه : A B = A B sin α اثبات. با فرض اینکه قبلا داشتیم: A.B = A B cos α با جایگذاري در قضیه قبلی حکم بدست می آید. B A بعنوان مساحت متوازي الاضلاعی است که داراي دو ضلع مجاور A و B است.(چرا ) قضیه.55.1 اگر A, B V ۳ متوازیند اگر و تنها اگر A B = O قضیه.56.1 اگر A, B, C V ۳ آنگاه A (B C) = (A B) C A B B A B A. A A B = A A B = O.B = ۰ قضیه.57.1 اگر A, B V ۳ آنگاه اثبات. بنابر قضیه قبل تمرین.58.1 نقاط ۳) ۲, ( ۱, P و ۰) ( ۲, ۱, Q و ۱) (۰, ۵, R مفروض اند. بردار واحدي بیابید که نمایشهایش بر صفحه مار بر نقاط فوق عمود باشد. A B ( لذا جواب مسي له عبارتست از ) ( ) حل - R A = V P و A B B = V P Q A B R P Q 12

21 تمرین متوازي السطوحی با سه یال B A و C را در نظر بگیرید. نشان دهید حجم این متوازي السطوح عبارتست از.A B C (چرا ) 3.1 تمرینات 1. معادله صفحه اي را بنویسید که محورهاي مختصات را در,a,b c قطع کند. (جواب ۱ = z/c.(/a + y/b +.2 صفحه = ۲ z y + را رسم کنید..3 صفحه = ۶ z ۲ + ۳y + را رسم کنید..4 صفحه هاي ۱ ۳, = ۱, ۲, z را رسم کنید. 5. کوتاهترین فاصله بین دو خط زیر را بیابید(طول عمود مشترك): l ۱ : = y ۲ = z ۳ l ۲ : +y ۲ = y = z + ۲ از صفحه = ۰ z ۲( ۱) + ۲(y + ۳) به فاصله 3 بیابید. ۱ ۲ = y+۱ ۳ = z+۵ ۷ 6. دو نقطه روي خط.7 اگر u = ۱۲i + ۹j ۵k و v = ۴i + ۳j ۵k باشد c را طوري بیابید که cu).u (v.8 براي دو بردار دلخواه u, v نشان دهید:. v u + u v v u u v.9 فرض کنید: v = i + j, w = j + k مطلوب است v w, v w و زاویه بین v و.w 13

22 14

23 فصل 2 توابع برداري و منحنی ها تعریف 1.2. تابع برداري R عبارتست از R : I R V ۳ t f (t), g (t), h (t) و یا R (t) = f (t) i + g (t) j + h (t) k که f, g, h توابع حقیقی هستند. براي هر t I نقطه انتهایی نمایش موضع بردار (t) R یک منحنی رسم میکند. معادلات پارامتري c عبارتند از = f(t) c : y = g(t) z = h(t) که با حذف t بین معادلات فوق معادله دکارتی c بدست می آید. مثال 2.2. > t R(t) >= cos,t sin,t منحنی c در فضاي R ۳ منحنی فنر واري است که حول سطح جانبی استوانه اي که مقطع آن دایره اي به شعاع 1 است می چرخد. 15

24 z π 0, 1, 2 (1, 0, 0) y نقش t ۲, t R(t) = ۲ cos ۲t, ۲ sin ۲t, توجه نماي ید که ۲t و مثال.3.2. t R(t) = ۲ cos t ۲, ۲ sin t ۲, فشردگی و باز بودن فنر را ایفا می کند. تمرین 4.2. منحنی هاي زیر را رسم کنید: R(t) = ۲ cos ti + ۲ sin tj + ۳k, R(t) = (۲t ۱)i + (t + ۱)j + (۳t ۲)k R(t) = i + tj + sin tk R(t) = ۲ cos ti + ۳ sin tj + k = R(t) به منحنی درجه سوم نامسطح موسوم است. مثال.5.2 ۳ t, t ۲, t تعریف.6.2 با فرض h(t) R(t) = f(t), g(t), داریم: lim t t ۰ R (t) = lim t t ۰ f (t), lim t t ۰ g (t), lim t t ۰ h (t) 16

25 به شرط وجود حدهاي مختص ها. تمرین 7.2. تعریف فوق را تعبیر هندسی نماي ید. تعریف 8.2. گوي یم تابع برداري R در پیوسته است اگر و تنها اگر الف - (a) R موجود باشد ب - (t) lim t t ۰ R موجود باشد پ - (a).lim t t ۰ R (t) = R تمرین 9.2. تعریف فوق را تعبیر هندسی نماي ید. lim t t ۰(ti + [t]j) =? مثال ۱ = ۱, ۲ ۰ t تعریف تعریف مشتق تابع برداري R (t) = lim t ۰ R(t+ t) R(t) t بسته به شرط وجود حد. C z 0 Rª(t) P Q R (t) R (t+h) R(t+h)-(t) R h y C z 0 (t+h)-(t) R Q P R R (t) R (t+h) y قضیه.12.2 اگر R (t) = f (t) i + g (t) j + h (t) k باشد در اینصورت R (t) = f (t)i + g (t)j + h (t)k 17

26 قضیه اگرR و Q دو تابع برداري باشند در اینصورت: (R Q ) = R Q + R Q (R Q ) = R Q + R Q b a b R (t) dt = f (t) dt, a b a g (t) dt, b a تعریف انتگرال تابع برداري h (t) dt قضیه.15.2 اگر h R = f, g, و b] f, g, h : [a, پیوسته و R منحنی بسته اي نباشد در اینصورت : L = b a R (u) b du = a f (u) ۲ + g (u) ۲ + h (u) ۲ du اگر s تابع طول قوس منحنی c از نقطه )) ۰ A (f (t ۰ ), g (t ۰ ), h (t تا نقطه (t)) B (f (t), g (t), h باشد در s (t) = t t 0 R (u) du اینصورت ۱ ۲ = y+۲ ۳ = z ۱ = t R (t) = ۲t + ۱, ۳t ۲, t s = ds نظیر حالات دو بعدي. البته توجه داریم که: (t) dt = R ۱ ۰ R (t) dt = ۱۴ مثال بردار هادي خط R (t) = R همان بردار مماس است. T (t) = R (t) R (t) تعریف بردار مماس یکه: K (t) = dt (t) ds = dt /dt ds/dt = T (t) R (t) تعریف.18.2 بردار انحناء: (t) K (t) = T s تعریف.19.2 تعریف انحناء: (t) κ = K N (t) = K(t) K(t) تعریف تعریف بردار قاي م یکه: قضیه.21.2 ثابت کنید = ۱ N T N, 18

27 اثبات. T.T = ۱ T T + T T = ۰ ۲T T = ۰ T T. حکم بدست می آید. B (t) = T (t) N (t) تعریف تعریف - بردار قاي م دو گانه واحد : قضیه.23.2 ثابت کنید = ۱ B B T, N اثبات. B = T N = T N sin ۹۰ = ۱ B N = T N N = T N N = T O = ۰ به همین ترتیب = ۰ B.T لذا.B T, N,T,N B به سه وجهی متحرك موسوم است. z T B N B T N y 19

28 1.2 دستگاه مختصات استوانه اي هر نقطه در این دستگاه به سه تاي مرتب (z,r),θ نمایش داده میشود براي یافتن رابطه اي بین این دستگاه مختصات دکارتی نقطه (z,),y را بر نقطه (z,r),θ منطبق می کنیم ا ا ا ت (r,θ,z): =rcosθ r= y=rsinθ z=z 2 +y 2 ) θ=tan 1( y z=z 0 θ π y 0 π<θ<2π y<0 z 0 θ y r P(,y,z) z y P 0 (,y,0) z z z r 0 z 0 0 y 0 y 0 y θ 0 r=r 0 θ=θ 0 z=z دستگاه مختصات کروي هر نقطه در این دستگاه با سه تایی (φ,ρ),θ مشخص میشود. OAH = OH cos θ y = OH sin θ OBD OBH z = ρ cos φ OH = ρ cos (π/۲ φ) = ρ sin φ 20

29 = ρsin φ cos θ y = ρsin φ sin θ = ρ ۲ = ۲ + y ۲ + z ۲ φ = Arc cos z ρ z = ρcos φ θ = Arc tan y ت (ρ,θ,φ): =ρsinφ cosθ ρ= 2 +y 2 +z 2 y=ρsinφ sinθ θ=tan 1( ) y ( ) z=ρcosφ φ=cos 1 z 2 +y 2 +z 2 A D z φ 0 θ y ρ P(,y,z) z y H B P 0 (,y,0) ا y<0 آ y 0 π<θ<2π آ 0 θ π z z z ρ 0 0 ρ=ρ 0 y 0 θ 0 y φ 0 0 y θ=θ 0 φ=φ 0 R(t) = a cos ti + a sin tj مثال.24.2 ۰. > a 21

30 R (t) = a sin ti + a cos tj R (t) = a ۲ sin ۲ t + a ۲ cos ۲ t = a T (t) = R (t) R (t) = 1 ( a sin ti + a cos tj) = sin ti + cos tj a T (t) = cos ti sin tj K(t) = T (t) R (t) = 1 ( a cos ti a sin tj) a κ(t) = K(t) = 1 a توجه داریم که انحنا با شعاع دایره نسبت عکس دارد. N(t) = K(t) K(t) = 1 1/a ( 1 a cos ti 1 sin tj) = cos ti sin tj a B(t) = T (t) N(t) = k. T = N = T = 1 T N, B B N, T. به راحتی از محاسبات فوق مشاهده میشود که : 3.2 تمرینات 1. تابع برداري R(t) = ۳ cos ti + ۳ sin tj + ۲k بردار مماس واحد بردار قاي م واحد بردار قاي م دوگانه واحد و انحنا را بدست آورید..2 تابع برداري R(t) = t ۲ i + (۴ + t)j + (۳ ۲t)k بردار مماس واحد بردار قاي م واحد بردار قاي م دوگانه واحد و انحنا را در = ۱ t بدست آورید..3 تابع برداري R(t) = ۳ cosh ti + ۳ sinh tj + tk بردار مماس واحد بردار قاي م واحد بردار قاي م دوگانه واحد را بدست آورید. انحنا عبارت است از κ. = a.4 تابع برداري R(t) = a cos ti + a sin tj + tk که > ۰ a a ۲ +۱ 5. اگر f() y = باشد نشان دهید 22

31 κ = y (۱+y ۲ ) ۳/۲ حل. کافیست فرض کنید:.R(t) = ti + f(t)j 6. اگر R یک معادله برداري منحنی c باشد نشان دهید انحنا توسط فرمول زیر بدست می آید: κ = R R R ۳ حل. T = R R R = R T R = R T + R T R R = R (R T ) + R (R T ) R T R R = R (R T ) R R = R R T = R ( R T sin ۹۰) R R = R ۲ T K = T R R R = R ۲ R K R R = R ۳ κ κ = R R R ۳ T = R R N = B T B = R R R R همچنین داریم: 7. در توابع برداري زیر از t ۰ تا t ۱ طول قوس L را بیابید: R(t) = a cos ti + a sin tj + tk t ۰ = ۰, t ۱ = ۲π R(t) = (t + ۱)i t ۲ j + (۱ ۲t)k t ۰ = ۱, t ۱ = ۲ 23

32 R(t) = sin ۲ti + cos ۲tj + ۲t ۳/۲ k t ۰ = ۰, t ۱ = ۱ R(t) = e t cos ti + e t sin tj + e t k t ۰ = ۰, t ۱ = ۳ ( ۲ + y ۲ = z ۲ ) R(t) = t ۲ i + (t + ۳ ۱t۳ )j + (t ۱ ۳ t۳ )k t ۰ = ۰, t ۱ = ۱ R(t) = ۲t cos ti + ۵tj + ۲t sin tk t ۰ = ۰, t ۱ = ۱ ( ۲ + z ۲ = ۲۵ ۴ y۲ ) R(t) = ۴t ۳/۲ i ۳ sin tj + ۳ cos tk t ۰ = ۰, t ۱ = ۲ 8. منحنی هاي زیر را رسم کنید: R(t) = ۲ cos ti + ۲ sin tj + ۳k R(t) = (۲t ۱)i + (t + ۱)j + (۳t ۱۲)k R(t) = i + tj + sin tk R(t) = ۲ cos ti + ۳ sin tj + ۱k 24

33 25

34 فصل 3 توابع چند متغیره تعریف.1.3 تابع f : R n R را تابع n متغیره می نامند. مثال 2.3. z = f(, y) = ۲ + y ۲ ۲۵ D f = {(, y) : ۲ + y ۲ ۲۵} مثال 3.3. z = f(, y) = y ۲ +y ۲ ۲۵ D f = {(, y) : ۲ + y ۲ > ۲۵} تعریف.4.3 تابع نمودار تابع n متغیره - فرض کنید f : R n R با ضابطه ) n w = f( ۱,, در اینصورت نمودار تابع f عبارتست از G f = {( ۱,, n, w) : w = f( ۱,, n )} R n+۱ تعریف.5.3 اگر( B = (y ۱,, y n ), A = ( ۱,, n در اینصورت

35 n A B = i=۱ ( i y i ) ۲ تعریف 6.3. فرض کنید f : R n R در اینصورت حد طبق تعریف عبارتست از: lim f(a) = l ϵ > ۰ δ > ۰ ۰ < A P < δ f(a) l < ϵ A P تمرین 7.3. نشان دهید lim (,y) (۱,۲) (۳ ۲ + y) = ۵. lim (,y) (a,b) f(g(, y)) = f( lim قضیه.8.3 اگر f : R n R و پیوسته و g : R ۲ R آنگاه (,y) (a,b) g(, y)). قضیه 9.3. اگر تابع f وقتی (y,) که از طریق دو مجموعه متمایز از نقاط به سمت ) ۰ ) ۰, y میل کند حدهاي متفاوتی داشته باشد آنگاه (y lim f(, وجود ندارد. (,y) ( ۰,y ۰ ) مثال f(, y) = y ۲ +y ۲ lim f(, ۰) = ۰ ۰ lim lim f(, y) (,y) (۰,۰) f(, ) = ۱/۲ ۰ لذا حد موجود نیست. R در A B = ۲ ۱ در R ۲ A B = ( ۲ ۱ ) ۲ + (y ۲ y ۱ ) ۲ R در A B = ( ۲ ۱ ) ۲ + (y ۲ y ۱ ) ۲ + (z ۲ z ۱ ) ۲ مثال

36 f(, y) = ۲ y ۴ +y ۲ lim f(, m) = ۰ ۰ lim lim f(, y) (,y) (۰,۰) ۰ f(, ۲ ) = ۱/۲ لذا حد موجود نیست. مثال f(, y) = ۲ y ۲ ۲ +y ۲ lim f(, ۰) = ۱ ۰ lim lim f(, y) (,y) (۰,۰) f(۰, y) = ۱ y ۰ لذا حد موجود نیست. 1.3 تمرینات 1. دامنه توابع زیر بیابید و نمودار آنرا رسم کنید: f(, y) = ۱ +y f(, y) = ۲ y ۲ y f(, y) = ۱ y f(, y) = ln(y ۱) f(, y) = ۳۶ ۴ ۲ ۹y ۲ f(, y) = [ ۲ ۲ +۱ + ۱] ۲ y ۲ [ ] f(, y) = ۲y y ۲ ۲ ۲ +y ۲.2 دامنه و برد تابع ] ۲ f(, y) = [] + [ ۱ y را محاسبه و دامنه f را در R ۲ و نمودار آنرا در مجموعه ۱) (۰, ۳) [۱, رسم کنید. 1. حدود زیر را در صورت وجود بیابید: 28

37 lim (,y) (۰,۰) (۱ + y) ۱ y lim (,y) (۰,۰) lim (,y) (۰,۰) lim (,y) (۰,۰) lim (,y) (۰,۰) lim (,y) (۱, ۱) lim (,y) (۱, ۲) lim (,y) (۰,۰) lim (,y) (۰,۱) lim (,y) (۰,۰) = e sin(y) = ۱ y e e y e e y ۲ y ۲ ۲ + y ۲ y ۲ + y ۲ ( ۱) ۹ (y + ۱) (( ۱) ۶ + (y + ۱) ۲ ) ۲ ( ۱) ۲ + y + ۲ ( ۱) ۲ + (y + ۲) ۲ ۲ + y ۲ + y ۲ + y y ۴ + ۳ ۲ y ۲ + ۲y ۳ ( ۲ + y ۲ ) ۲ lim ( + y) sin ۱ (,y) (۰,۰) lim (,y) (۰,۰) ( y ۲ + y ۲ + y sin ۱ ) f f را بیابید: y و ۰) (, 2. براي تابع زیر حاصل هاي (y,۰) y ۲ y ۲ f(, y) = ۲ +y ۲, (, y) (۰, ۰) ۰. = y = ۰ 2.3 پیوستگی توابع چند متغیره تعریف گوي یم تابعR f : R n در P R n پیوسته است اگر و تنها اگر الف - ) (P f موجود باشد lim موجود باشد ب - (A) A P f پ - ) (P. lim f (A) = f A P 29

38 f(, y) = ۳ ۲ y ۲ + y ۲ (, y) (۰, ۰) مثال نشان دهید f در (۰,۰) پیوسته است: ۰ (, y) = (۰, ۰) قضیه.15.3 اگر f و g در ) ۰ ( ۰, y پیوسته باشند در اینصورت: الف g- f ± و f.g در ) ۰ ( ۰, y پیوسته است. ب - f/g در ) ۰ ( ۰, y پیوسته است بشرط اینکه ۰ ) ۰ g( ۰, y پ - ترکیب توابع نیز پیوسته است. قضیه هر تابع چند جمله اي دو متغیري در هر نقطه R ۲ پیوسته است. قضیه هر تابع گویاي دو متغیري در هر نقطه از قلمروش پیوسته است. قضیه.18.3 اگر g در ) ۰ ( ۰, y و f در ) ۰ g( ۰, y پیوسته باشند در اینصورت fog در ) ۰ ( ۰, y پیوسته است. تمرین.19.3 در مورد پیوستگی ۱) ln(y f(, y) = بحث کنید. 3.3 مشتق نسبی نشان داده و در هر f فرض کنیدf یک تابع دو متغیره باشد مشتق جزي ی f نسبت به تابعی است که آنرا با f یا f ( f( ۰ +, y ۰ ) f( ۰, y ۰ ) ۰, y ۰ ) = f ( ۰, y ۰ ) = lim ۰ نقطه از دامنه f بصورت زیر تعریف می شود: به شرطی که این حد موجود باشد به همین می شود: f ترتیب تعریف می شود. مشتق جزي ی فوق بصورت زیر نیز تعریف y f ( f(, y ۰ ) f( ۰, y ۰ ) ۰, y ۰ ) = f ( ۰, y ۰ ) = lim ۰ ۰ تعبیر هندسی - نمودار تابع دو متغیره رویه اي است با معادله (y. z = f(, اگر y ثابت فرض شود مثلا y = y ۰ آنگاه ) ۰ z = f(, y معادله منحنی c است که از تقاطع رویه y) z = f(, با y = y ۰ صفحه بدست می آید. لذا ) ۰ f ( ۰, y ضریب زاویه خط مماس بر منحنی در نقطه )) ۰ P ۰ ( ۰, y ۰, f( ۰, y در y = y ۰ صفحه است. 30

39 f(, y) = تمرین.20.3 مطلوبست حاصل y) f (۰, و ۰) (, f y براي تابع: y( ۲ y ۲ ) ۲ + y ۲ (, y) (۰, ۰) ۰ (, y) = (۰, ۰) = v) z = F (u, که y) u = h(, و y) v = k(, نشان دهید: u v تمرین فرض کنید f(t)dt z = f(u)u f(v)v z y = f(u)u y f(v)v y 4.3 مشتق تابع دو متغیره تعریف تعریف نمو تابع دو متغیره - نمو تابع دو متغیره f عبارتست از f( ۰, y ۰ ) = f( ۰ +, y ۰ + y) f( ۰, y ۰ ) تعریف اگر f تابعی دو متغیره باشد و نمو f را در نقطه ) ۰ ) ۰, y بتوان بصورت زیر نوشت : f( ۰, y ۰ ) = f ( ۰, y ۰ ) + f y ( ۰, y ۰ ) y + ϵ ۱ + ϵ ۲ y که ϵ ۱, ϵ ۲ توابعی از و y هستند و وقتی که ۰) (۰, y) (, آنگاه داشته باشیم ۰ ۲.ϵ ۱, ϵ در اینصورت گوي یم f در ) ۰ ( ۰, y مشتق پذیر است. قضیه اگر یک تابع دو متغیره در نقطه اي مشتق پذیر باشد آنگاه f در آن نقطه پیوسته است. اثبات. تمرین. مثال فرض کنید f(, (y = ۲ + y ۲ نشام میدهیم f در کل صفحه مشتق پذیر است. f( ۰, y ۰ ) = ( ۰ + ) ۲ + (y ۰ + y) ۲ ( ۰ + y ۰ ) ۲ f( ۰, y ۰ ) = ۲ ۰ + ۲y ۰ y + + y y 31

40 حال ϵ ۱ =, ϵ ۲ = y و طبق تعریف f در هر نقطه ) ۰ ( ۰, y مشتق پذیر است. تبصره مشتق پذیري پیوستگی را نتیجه میدهد ولی با وجود موجود بودن مشتقات جزي ی f و f y در یک نقطه مشتق پذیري در آن نقطه را تضمین نمی کند. مثال.27.3 تابع زیر در ۰) (۰, پیوسته نیست اما = ۰ ۰) (۰, y.f (۰, ۰) = f f(, y) = y ۲ + y ۲ (, y) (۰, ۰) ۰ (, y) = (۰, ۰) f روي قرص بازي چون r) B(P ۰, که ) ۰ P ۰ = ( ۰, y است y و f قضیه فرض کنیدR f : Rn و f در P ۰ پیوسته باشند آنگاه f در P ۰ مشتق پذیر است. y و f f(, y) = ۲ y ۲ ۲ + y ۲ (, y) (۰, ۰) ۰ (, y) = (۰, ۰) موجود باشند. حال اگر مثال تابع زیر در (۰,۰) مشتق پذیر است. تعریف اگر f تابعی دو متغیره در نقطه (y,) مشتق پذیر باشد آنگاه دیفرانسیل کلی f تابع df است که df = f f d + y dy 5.3 مشتق گیري ضمنی اگر f(, (y = c باشد آنگاه طبق دیفرانسیل کلی داریم:. f f d + y dy = ۰ y = f f y = f f y مثال ۲ y + y ۲ = ۵ y = ۲y+y۲ ۲ +۲y. 32

41 و و y وy همگی موجود باشند آنگاه s r s r 6.3 قاعده زنجیري قضیه.32.3 y) u = f(, و s) = F (r, و s) y = G(r, و s)) u = f(f (r, s), G(r, بعبارتی u تابعی است از r و s و داریم: u r = u r + u y y r u s = u s + u y y s u y r s r s حال اگر u تابعی مشتق پذیر از,y و,y هر دو تابعی مشتق پذیر از یک متغیر مانند t باشند در اینصورت u du dt = u d dt + u dy y dt تابعی است ازt و لذا du را مشتق کلیu نسبت به t گویند. dt قضیه.33.3 فرض کنید f روي قرص r) B(( ۰, y ۰ ), تعریف شده و f f y f y f y نیز روي B تعریف شده f y ( 0, y 0 ) = f y ( 0, y 0 ) باشند و f y f y روي B پیوسته باشند در اینصورت 7.3 تمرینات 1. نشان دهید توابع زیر در معادله لاپلاس صدق می کنند: 33

42 u = arctan ۲y ۲ y ۲ u = a ln ۲ + y ۲ u = e sin y + e y cos u = arctan y + u = e ۳+۴y sin ۵z u = sinh sin y ۲ +y ۲ u = ۲ y y ۲ + y ۲ z z ۲ y + z ۲ ۲ z = ۱ u در معادله لاپلاس صدق می کند. 2. آیا تابع ۲ +y ۲ +z۲.3 فرض کنید sin(k) u = ۵ cos(kat) که a, k ثابت هستند. نشان دهید.u tt = a ۲ u.4 فرض کنید u = ۳y ۴y ۲, = ۲se r, y = re s باشد حاصل u rr رابیابید. z = ۲ + y ۲ = sin t y = e t dz d t=۰ =? z = ۲ y + ۲y ۲ = (t + ۱) ۲ y = t + t dz d t=۱ =? z = y dz =? u = e yz du( = y = z = ۰) =? z = ۲ + y ۲ = e r۲ +s ۲ y = r s dz d =y=۱ =? z = ۲ + y z + yz y =? z = y ۲ +y ۲ z + yz y =? z = ۲ sin y + y۲ cos y z + yz y =? z = e y۵ z =? f = ۲ + ۲y + y ۲ + ۳ + ۵y f (۲, ۳) =? f = ۲ yz ۳z f z (۲, ۳, ۱) =? f = ۳ + ۳y + ۶y ۲ ۲ f y =? f = e yz + yze ۲ f y =? f = e cos y ۲ f ۲ y =? 34

43 f = y + y ۲ f y =? f = ln( ۲ + y + y ۲ ) f y ( ۱, ۴) =? z = f( ۲ y ۳ ) ۳y ۲ z + ۲z y =? z = sin y + ln y yz y + z =? f(, y) = y y e cos t dt f, f y =? d dt b a f(, t)d = b a f(, t) d t 5. ثابت کنید: حاصل انتگرالهاي زیر را بدست آورید: 0 t 2 e pt dt 0 t n e pt dt ۰ سپس با محاسبه حاصل e pt dt 8.3 مشتق جهتی فرض کنیدR f : R ۲ و u بردار واحد در نقطه y) (, در صفحه R ۲ باشد یعنی.u = cos θi + sin θj تعریف مشتق جهتی f در جهتی u را با D u f نشان داده و بصورت زیر تعریف می کنیم: D u f(, y) = lim h ۰ f( + h cos θ, y + h sin θ) f(, y) h البته بشرط وجود حد. در روي رویه y) z = f(, نقطه ) ۰ P ( ۰, y ۰, z را در نظر بگیرید. حال نقاط ۰) θ, Q ( ۰, h cos θ, y ۰ + h sin و (۰ P ) ۰, y ۰, نقاطی در صفحه y هستند. صفحه اي که از Q و P موازي محور z هاست را در نظر می گیریم این صفحه رویه را در یک خم قطع می کند مشتق جهتی ضریب زاویه خط مماس بر منحنی در P ۰ بدست می دهد. 35

44 z T P(, y, z ) y تمرین.35.3 مشتق جهتی را براي رویه z = ۲ + y ۲ در جهت بردار واحد u = cos ۳۰ o i + sin ۳۰ o j و در نقطه (۱,۱) بررسی نماي ید. تبصره.36.3 داریم: y) D i f(, y) = f (, و y).d j f(, y) = f y (, قضیه.37.3 اگر f تابع مشتق پذیري از y) (, باشد و u = cos θi + sin θj در اینصورت: D u f(, y) = f (, y) cos θ + f y (, y) sin θ اثبات. فرض کنید θ) g(t) = f( + t cos θ, y + t sin با محاسبه مشاهده میشود که y) g (۰) = D u f(, و از قاعده زنجیري نیز داریم: g (۰) = f (, y) cos θ + f y (, y) sin θ D u f(, y) = (cos θi + sin θj) (f i + f y j) 36

45 تبصره اگر تابع سه متغیره (z w = f(,,y باشد آنگاه مشتق جهتی آن در نقطه p ۰ R ۳ در سمت بردار واحد u = cos αi + cos βj + cos γk بصورت زیر است: D u f(p ۰ ) = f (p ۰ ) cos α + f y (p ۰ ) cos β + f z (p ۰ ) cos γ. تعریف اگر f y, f موجود باشند در اینصورت گرادیان f را با f نشان داده و بصورت زیر تعریف میکنیم: f = f i + f y j لذا طبق قضیه قبل D u f = u f اگر α زاویه بین بردارهايf و u باشد: D u f = u f cos α = f cos α اگر ۱ = α cos یعنی u با f هم جهت است D u f ماکسیموم خواهد بود. در این حالت داریم: f. D u f = پس گرادیان یک تابع دو جهتی است که تابع آن جهت داراي ماکسیموم آهنگ تغییر است. D i f = f i = (f i + f y j) i = f D j f = f j = f y فرض کنید = ۰ z) S : F (, y, رویه و ) ۰ P ۰ ( ۰, y ۰, z نقطه اي روي S باشد. c یک خمی با معادلات پارامتري زیر روي S باشد که از P ۰ می گذرد. 37

46 = f(t), y = g(t), z = h(t) R(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k, R(t ۰ ) = P ۰ c S F (f(t), g(t), h(t)) = ۰ حال اگر F z, F y, F پیوسته و همگی در 0P صفر نباشند و ) ۰ f (t ۰ ), g (t ۰ ), h (t موجود باشند آنگاه مشتق کلی F نسبت به t در عبارتست از: F (P ۰ ) R (t ۰ ) = ۰ F R. لذا F در P ۰ بر بردار مماس عمود است. تعریف برداري که عمود بر بردار واحد مماس هر منحنی c مار بر یک نقطه P ۰ واقع بر رویه S باشد یک بردار قاي م بر P ۰ در S نامیده می شود. تعریف اگر = ۰ (z F,),y معادله رویه S باشد صفحه مماس بر S در یک نقطه P ۰ صفحه ایست که از Pمی ۰ گذرد و ) ۰ F p) بردار نرمال آن است. معادله صفحه مماس عبارتست از : F (P ۰ )( ۰ ) + F y (P ۰ )(y y ۰ ) + F z (P ۰ )(z z ۰ ) = ۰. به همین ترتیب معادله خط قاي م بر رویه S در نقطه P ۰ خطی است که از P ۰ می گذرد و مو لفه هاي بردار نرمال بر P ۰ در S مجموعه اي از اعداد مساوي آن هستند. لذا ۰ F (P ۰ ) = y y ۰ F y (P ۰ ) = z z ۰ F z (P ۰ ) اگر خم c فصل مشترك دو رویه ۰ = F G =,۰ باشد و,F G متوازي نباشند در اینصورتG F با بردار مماس هم جهت یا در جهت مخالف آن خواهد بود و از آنجا میتوان معادله خط مماس را نیز بدست آورد. 9.3 تمرینات 38

47 .1 مشتق سوي ی تابع f = z ۲ + y ۳ در امتداد بردار i + ۲j و در نقطه ۲) (۱, ۱, چقدر است 2. فرض کنید f داراي مشتقات نسبی پیوسته باشد و,u v دو بردار واحد باشند نشان دهید: D u D v f = D v D u f.3 مشتق سوي ی تابع ) ۲ f = ( ۲ y ۲ )( ۲ + y در امتداد بردار u و در نقطه ۱) (۱, برابر صفر است مطلوبست بردار u ۳ + i ۱ ۲ و در نقطه ۱) (۱, چقدر است.4 مشتق سوي ی تابع f = ln ۲ + y ۲ در امتداد بردار ۲ j 5. مشتق سوي ی تابع f در امتداد بردار u و در نقطه p را بدست آورید یعنی f(p) D: u f = e ۲y p = (۲, ۰) u = ۱ ۲ i + ۳ ۲ j f = ۲ yz ۳ p = (۱, ۱, ۱) v = i + ۲j + k f = ۲ e yz p = (۱, ۰, ۰) u = ۱ ۳ ( i + j + k) f = z ۲ + y ۳ p = (۱, ۱, ۲) u = ۱ ۵ (i + ۲j) f = cos(y) + e yz + ln(z) p = (۱, ۰, ۱/۲) v = i + ۲j + ۲k f = ۱ ۲ +y ۲ +z ۲ p = (۲, ۲, ۱) v = ۲i ۳j + ۶k 39

48 40

49 فصل 4 سطوح - رویه تعریف 1.4. معادله کره عبارت است از ( α) ۲ + (y β) ۲ + (z γ) ۲ = r ۲ z =r z 0 =r 0 0 y 0 ( 0,y 0,z 0 ) (a) radius r, center (0,0,0) y 0 (b) radius r, center ( 0,y 0,z 0 ) تعریف 2.4. معادله بیضی گون ( α) ۲ a ۲ + (y β)۲ b ۲ + (z γ)۲ c ۲ = ۱ 41

50 c z 0 a b y 42

51 y z z y z = 0 : 2 4 +y2 = 1 y = 0 : 2 4 +z2 = 1 = 0 : y 2 +z 2 = 1 z y y 2 4 +y2 +z 2 = 1 43

52 تعریف 3.4. معادله سهمی گون z γ c = ( α)۲ a ۲ + (y β)۲ b ۲ z 0 y 44

53 y z a y z = a 2 : 2 +y 2 = a 2 = 0 : y 2 = z z y z y 45

54 تعریف 4.4. معادله استوانه ( α) ۲ a ۲ + (y β)۲ b ۲ = ۱ که در آن z دلخواه است. z z r 0 (a) 2 +y 2 = r 2, z r y r y y 0 0 z (b) 2 +z 2 = r 2, y (c) y 2 +z 2 = r 2, تعریف 5.4. هذلولی گون یک پارچه: ( α) ۲ a ۲ + (y β)۲ b ۲ (z γ)۲ c ۲ = ۱ تعریف 6.4. هذلولی گون دو پارچه: ( α) ۲ a ۲ (y β)۲ b ۲ (z γ)۲ c ۲ = ۱ 46

55 هذلولى گون يك پارچه 2 a 2+y2 b 2 z2 c 2= 1 هذلولى گون دو پارچه 2 a 2 y2 b 2 z2 c 2= 1 z z 0 y 0 y Hyperboloid of one sheet Hyperboloid of two sheets z c ( α)2 (y β)2 = a 2 b 2 تعریف 7.4. سهمیوار هذلولی (زین اسبی): 47

56 2 a 2 y2 b 2=z c زين اسبى z y Hyperbolic paraboloid 1.4 تمرینات 1. نشان دهید دو رویه زیر در نقطه (۲,۱,۱) برهم عمودند: ۲ ۲yz + y ۳ = ۴ ۲ + (۴c ۲)y ۲ cz ۲ = ۱ c 48

57 .2 مساحت سهمی گون z = ۲ + y ۲ واقع در زیر صفحه = ۴ z را بیابید. 3. معادله صفخه مماس و خط قاي م بر رویه y = e cos z را در نقطه (۰,e,۱) بدست آورید..4 رویه هاي = ۱ z = ۱, y = ۲, را جداگانه رسم نماي ید..5 رویه هاي = ۳ z r = ۲, θ = ۳ π, را جداگانه رسم نماي ید. ρ = ۲, θ = π ۴, φ = π ۳ را جداگانه رسم نماي ید. 6. رویه هاي.7 رویه هاي y = ۲ + z ۲, z = ۲ + y ۲, = y ۲ + z ۲ را جداگانه رسم نماي ید..8 رویه هاي = ۲ + z ۲, ۱ = ۲ + y ۲, ۱ = y ۲ + z ۲ ۱ را جداگانه رسم نماي ید..9 مقطع دو استوانه = ۲ + y ۲, ۱ = y ۲ + z ۲ ۱ را رسم و آنرا بسازید. 49

58 50

59 فصل 5 انتگرال منحنی الخط 1.5 تعیین یک تابع از روي گرادیان آن فرض کنید F = Mi + Nj شرط اینکه تابع φ وجود داشته باشد بطوریکه φ = F اینست که.M y = N براي یافتن φ بصورت زیر عمل می کنیم: φ = F φ i + φ y j = Mi + Nj φ = M, φ y = N. φ = ۱ y = M, F = ۱ y i مثال.1.5 j y ۲ φ y = y ۲ = N φ = 1 y φ(, y) = y + h(y) φ y = و رابطه فوق داریم: اما از y ۲ φ y = y ۲ + h (y) = N = y ۲ h (y) = ۰ h(y) = c φ(, y) = y + c. 51

60 فرض کنید F = Mi + Nj + Rk شرط اینکه تابع φ وجود داشته باشد بطوریکه φ = F اینست که M y = N M z = R, R y = N z. φ = z ۲ + ۱ = M, φ y = ۲yz = N φ z = ۲z + y ۲ = R مثال.2.5 )k F = (z ۲ + ۱)i + ۲yzj + (۲z + y ۲ φ = z ۲ + ۱ φ(, y, z) = (z ۲ + ۱) + g(y, z) φ y = g y اما از φ y = ۲yz و رابطه فوق داریم: g y = ۲yz g(y, z) = y ۲ z + h(z) φ(, y, z) = (z ۲ + ۱) + y ۲ z + h(z) φ z = ۲z + y ۲ + h (z) φ z = ۲z + y ۲ h (z) = 0 h(z) = c. φ(, y, z) = (z ۲ + ۱) + y ۲ z + c 2.5 انتگرال منحنی الخط F میدان نیروي روي= F پیوسته و f, g : [a, b] که B R ۲ در قرص باز R(t) = f(t)i + g(t)j خم c c در حرکت شی در امتداد خم F پیوسته در اینصورت کار انجام شده توسط نیروي,M N : B که B با Mi + Nj W = b a F (f(t), g(t)) R (t)dt از(( g(b B(f(b), تا g(a)) A(f(a), عبارتست از 52

61 Md + Ndy = c b a تبصره.3.5 قرارداد: F (f(t), g(t)) R (t)dt گویند انتگرال منحنی الخط Md + Ndy روي منحنی c برابر کار انجام شده است. که c : y = ۲ از ۱) ( ۱, = A تا ۴) (۲, =.B c مثال.4.5 ydy ( ۲ + y ۲ )d + ۳ ۲ تعریف 5.5. گویند خم c خم همواري است هرگاه الف - g f, روي b] [a, پیوسته ب - g f, روي( b (a, همزمان صفر نشوند. تعریف 6.5. خم قطعه قطعه هموار - اگر بتوان فاصلهI را به تعداد متناهی فاصله طوري افراز کرد که c روي آنها هموار باشد گوي یم c روي آنها I قطعه قطعه هموار است. = cos t y = sin t = t sin t مثال.7.5 خم هموار براي t ۲π ۰ خم قطعه قطعه هموار (چرخزاد) براي t R y = ۱ cos t قضیه 8.5. اگر خم c از خمهاي هموار c n,, c ۱ تشکیل شده باشد در اینصورت Md + Ndy = ( Md + Ndy). c i c i تمرین 9.5. قضیه فوق را در R تعبیر کنید. قضیه.10.5 B M, N : تعریف شده M y, N : B و پیوسته تابع φ وجود داشته باشد بطوریکه φ = Mi + Nj و c خمی قطعه قطعه هموار دلخواه در B از نقطه ) ۰ A( ۰, y تا نقطه( B( ۱, y ۱ باشد در اینصورت c Md + Ndy == φ( 1, y 1 ) φ( 0, y 0 ) بعبارتی انتگرال منحی الخط مستقل از مسیر است. 53

62 اثبات. اگر F = Mi + Nj و R = i + yj بوده و M y = N باشد در این صورت تابع φ وجود دارد بطوریکه φ = F یعنی Mi + Nj = φ i + φ y j لذا: w = = F.dR = (Mi + Nj).(di + dyj) = c φ d + φ y dy = b a dφ = φ(b) φ(a) Md + Ndy که کار انجام شده براي انتقال یک شی از نقطه a به نقطه b روي منحنی c بستگی به مسیر نداشته و فقط به نقطه شروع و پایان و نیروي F و میدان گرادیان آن یعنی φ بستگی دارد. تعریف اگر تحت شرایطی خاص مقدار انتگرال منحنی الخط فقط بستگی به انتگرال و نقاط,B A داشته و به مسیر از A تا B بستگی نداشته باشد. چنین انتگرال منحنی الخطی را مستقل از مسیر می نامند. y = c ۱ : A = (۰, ۰), B = (۱, ۱) مثال.12.5 ۵)j F = (y ۲ + ۲ + ۴)i + (۲y + ۴y y = ۲ c ۲ : A = (۰, ۰), B = (۱, ۱) y ۳ = c ۳ : A = (۰, ۰), B = (۱, ۱) φ = (y ۲ + ۲ + ۴) = M, φ y = (۲y + ۴y ۵) = N φ = (y ۲ + ۲ + ۴) φ(, y) = y ۲ + ۲ + ۴ + h(y) اما از ۵) ۴y φ y = (۲y + و رابطه فوق داریم: φ y = ۲y + h (y) = N = ۲y + ۴y ۵ h(y) = ۲y ۲ ۵y + c φ(, y) = y ۲ + ۲ + ۴ + ۲y ۲ ۵y + c. c i Md + Ndy = φ(۱, ۱) φ(۰, ۰) = ۳ i = ۱, ۲, ۳. البته چنین φ وجود دارد چرا که.M y = N = ۲y 54

63 اگر F = Mi + Nj و تابع φ وجود داشته باشد بطوریکه φ = F آنگاه F میدان گرادیان و φ تابع پتانسیل نامیده میشود و (y φ(, پتانسیل (y,) در F است. و وقتی که F یک میدان گرادیان باشد عبارت را دیفرانسیل کامل می نامند. چرا که.Md + ndy = dφ تمرین قضیه مستقل از مسیر بودن را در R تعبیر کنید. 3.5 تمرینات 1. نشان دهید تابع f وجود دارد بطوریکه f = ( ۴ ۳y)i + (۲y ۳ + ۴)j f = f = ۲y (y+۱) ۲ i + y ۲ +y ۲ i + ۲ (y+۱) ۲ j ۲ +y ۲ j f = (e sin z + ۲yz)i + (۲z + ۲y)j + (e cos z + ۲y + ۳z ۲ )k f = (tan y + ۲y sec z)i + ( sec ۲ y + ۲ sec z)j + sec z( ۲ y tan z sec z)k 2. حاصل انتگرال منحنی الخط زیر را با نشان دادن مستقل از مسیر بودن آن و به کمک تابع گرادیان بیابید: (y ۲ + ۲ + ۴)d + (۲y + ۴y ۵)dy c که منحنی c نقطه (۰,۰) را به (۱,۱) وصل میکند. 3. حاصل انتگرال منحنی الخط زیر را با نشان دادن مستقل از مسیر بودن آن و به کمک تابع گرادیان بیابید: c ۲y (y + ۱) ۲ d + ۲ (y + ۱) ۲ dy که منحنی c نقطه (۲,۰) را به (۰,۱) وصل میکند. 4. حاصل انتگرال منحنی الخط زیر را با نشان دادن مستقل از مسیر بودن آن و به کمک تابع گرادیان بیابید: 55

64 c y ۲ + y ۲ d + ۲ + y ۲ dy که منحنی = ۴ ۲ c : ۲ + y نقطه ۲) ۲, ( را به ۲) ۲, ( وصل میکند. 5. حاصل انتگرال منحنی الخط زیر را با نشان دادن مستقل از مسیر بودن آن و به کمک تابع گرادیان بیابید: (tan y + ۲y sec z)d + ( sec ۲ y + ۲ sec z)dy + sec z( ۲ y tan z sec z)dz c که منحنی c نقطه (۰,۴/π,۲) را به (π,۳),π وصل میکند. 6. حاصل انتگرال منحنی الخط زیر را با نشان دادن مستقل از مسیر بودن آن و به کمک تابع گرادیان بیابید: (y z)d + e dy + ydz c که منحنی c نقطه (۰,۱),۰ را به (۸,۳),۴ وصل میکند. (y + ۲ )d + ۲ dy c 7. حاصل انتگرال منحنی الخط زیر را بیابید: که منحنی c : y = ۲ ۲ نقطه ۰) (۰, را به ۲) (۱, وصل میکند. c ۲d + (۲y ۱)dy 8. حاصل انتگرال منحنی الخط زیر را بیابید: که منحنی c : y = ۲ نقطه ۰) (۰, را به ۱) (۱, وصل میکند. 56

65 57

66 فصل 6 انتگرال دوگانه ناحیه بسته R را به صورت زیر افراز می کنیم: به موازات محورهاي مختصات خطوطی رسم و شبکه اي از زیر ناحیه هاي مستطیلی بدست می آوریم را طول بزرگترین قطر زیر ناحیه اي مستطیلی افراز در نظر می گیریم. زیر ناحیه ها را به طور دلخواه شماره گذاري نموده و در هر زیر ناحیه نقطه دلخواه ) i ( i, β را در نظر می گیریم. در اینصورت مساحت i ام زیر ناحیه عبارتست از A i = i y i و اکنون: تعریف 1.6. فرض کنید f تابعی است که بر ناحیه R تعریف شده است گوي یم f بر ناحیه بسته R انتگرال پذیر است هرگاه حد زیر موجود باشد: اگر این حد موجود باشد آنرا با f(, y)da lim 0 n f(α i, β i ) A i i=1 R نشان داده و انتگرال دوبل f بر R گویند. 58

67 R A k y k (α β,) i k i قضیه 2.6. فرض کنید f بر ناحیه بسته R که y) صفحه از) R R ۲ پیوسته باشد و براي هر,) (y R داشته باشیم ۰ (y.f(, اگر اندازه حجم جسمی که قاعده اش ناحیه R و ارتفاعش مقدار (y f(, است V باشد آنگاه V = lim n ۰ i=۱ f(α i, β i ) A i = R f(, y)da قضیه 3.6. اگر c یک عدد ثابت وf,g بر ناحیه بستهR پیوسته یا بعبارتی انتگرال پذیر باشند در اینصورت: (cf(, y) + g(, y))da = c f(, y)da + R R R (, y) R f(, y) g(, y) f(, y)da R R الف - y)da g(, ب - y)da g(, پ - اگر M و N اعداد ثابتی باشند و A اندازه مشاحت ناحیه R باشد آنگاه: (, y) R m f(, y) M ma R f(, y)da MA ت - فرض کنید ناحیه R متشکل از دو زیر ناحیه R ۲, R ۱ باشد که بجز نقاط واقع بر بخش از مرزهایش هیچ نقطه f(, y)da = R f(, y)da + R 1 f(, y)da R 2 مشترکی نداشته باشند در اینصورت: 59

68 z z b a 0 c f( * ijy, * ij ) d y y R ij 1.6 نحوه محاسبه انتگرال دوگانه =b [ ] y=g۲ () f(, y)dy d =a y=g ۱ () y=d [ ] =h۲ () f(, y)d dy y=c =h ۱ (y) 60

69 مثال = = 2 2 = 5 ۳ A = ۱ y= ۲ ۲ y= ۲ ۲ ۹ dyd + ۳ y= ۲ ۲ y= ۵ dyd ویا ۴ A = ۲ =y+۵ = y ۲ +۲ ۲ ddy 2.6 انتگرال دوگانه در مختصات قطبی براي تعریف انتگرال دوگانه در دستگاه مختصات قطبی ناحیه را خطوط r = r i, θ = θ i شبکه بندي می کنیم i ام شکل را در نظر گرفته داریم: 61

70 A i = ۱ ۲ r۲ i θ i ۱ ۲ r۲ i ۱ θ i = ۱ ۲ (r۲ i r ۲ i ۱ ) θ i = ۱ ۲ (r i + r i ۱ )(r i r i ۱ ) θ i = r i r i θ i ۱ ۲ (r i + r i ۱ ) = r i lim n ۰ i=۱ f( r i, θ i ) A i = lim n ۰ i=۱ f( r i, θ i ) r i r i θ i = R f(r, θ)rdrdθ 3.6 نحوه محاسبه انتگرال دوگانه در مختصات قطبی r=b [ ] θ=g(r) F (r, θ)rdθ dr r=a θ=f(r) 62

71 θ=β [ ] r=g(θ) F (r, θ)rdr dθ θ=α r=f(θ) = = = ( ) = ( ) مثال 5.6. π ۲ r=۳ cos θ ۳π ۲ A = ۲ rdrdθ + π π ۳ r=۵ cos θ ۲ r=۳ cos θ r=۰ rdrdθ و B = π ۳ r=۵ cos θ π ۳ r=۳ cos θ rdrdθ 63

72 = /3 =3 cos =5cos A B ۰ مثال.6.6 مطلوبست محاسبه e ۲ d حل. I ۲ = ۰ e ۲ d ۰ e y۲ dy = ۰ ۰ e ۲ y ۲ ddy ناحیه انتگرال گیري همان ناحیه اول است. این انتگرال را با فرم قطبی تبدیل و حل می کنیم = r cos θ y = r sin θ ddy = rdrdθ π/۲ [ ] π/۲ I ۲ = e r۲ rdr dθ = ۰ ۰ ۰ [ ۱ ۲ e r۲ ] ۰ dθ = π/۲ ۰ ۱ ۲ dθ = π π ۴ I = ۲ 4.6 تغییر متغیر در انتگرال دوگانه f(, y)ddy = f(u, v) det J dudv [ ] u v.j = y u y v که J ماتریس ژاکوبین تبدیل است یعنی 64

73 5.6 تبدیل انتگرال دوگانه در دستگاه مختصات دکارتی به قطبی f(, y)ddy = f(r, θ) det J drdθ J = r y r θ y θ = cos θ sin θ = r cos θ است با توجه به اینکه J ماتریس ژاکوبین تبدیل و y = r sin θ r sin θ det J = r cos۲ θ + r sin ۲ θ = r r cos θ 6.6 تبدیل انتگرال سه گانه در دستگاه مختصات دکارتی به کروي f(, y, z)ddydz = f(ρ, θ, φ) det J dρdφ با توجه به اینکه J ماتریس ژاکوبین تبدیل زیر است = ρ sin φ cos θ y = ρ sin φ sin θ z = ρ cos φ sin φ cos θ ρ sin φ sin θ ρ cos φ cos θ J = sin φ sin θ ρ sin φ cos θ ρ cos φ sin θ cos φ ۰ ρ sin φ det J = ρ ۲ sin φ f(, y, z)ddydz = f(ρ, θ, φ)ρ ۲ sin φdρdφ 65

74 7.6 محاسبه مساحت رویه ناحیه R y R ۲ را شبکه بندي می کنیم یکی از مستطیل ها را به روي رویه (y z = f(, تصویر می کنیم حال نقطه اي دلخواه از مستطیل i ام را ) i (α i, β در نظر گرفته و سپس نقطه )) i P i (α i, β i, f(α i, β را روي رویه تصویر کرده و صفحه مماس را در P i بر رویه رسم می کنیم بجاي محاسبه مساحت i δ از رویه مساحت δ i از صفحه مماس را محاسبه می کنیم در اینصورت با ظریف شدن شبکه بندي میتوان مساحت رویه را بدست آورد S = lim ۰ n i=۱ δ i اما با توجه به شکل داریم: cos γ i = A i δ i و همچنین F = z f(, y) = ۰ F (P i ) = N = f (P i )i f y (P i )j + k cos γ i = N k N k = ۱ f ۲ (P i )+fy ۲ (P i )+۱ δ i = A i cos γ i = A i ۱/ f ۲ (P i)+f ۲ y (P i)+۱ S = lim ۰ n i=۱ δ i = lim ۰ n i=۱ در نتیجه f ۲ (P i ) + fy ۲ (P i ) + ۱ = R f ۲ + fy ۲ + ۱dA 66

75 N k = تمرین.7.6 مساحت رویه ۲ + y ۲ + z ۲ = a ۲ را بدست آورید. 8.6 مساحت رویه حاصل از دوران از دوران () y = F حول محور ها سطحی ایجاد می شود که مساحت آن عبارتست از ۲π b a F () ۱ + F ۲ ()d. 67

76 = ( ) رویه حاصل از دوران () y = F حول محور ها عبارتست از y ۲ + z ۲ = F ۲ () z = F ۲ (X) y ۲ A = ۴ b F () a ۰ z ۲ + z ۲ y + ۱dyd = ۲π با محاسبه مساحت در ۱/۸ ناحیه اول داریم b a F () ۱ + F ۲ ()d. تمرین 8.6. مساحت حاصل از دوران y = cosh در فاصله [۱,۰] را حول محور ها بدست آورید ۱ ۲π ۰ cosh ۱ + sinh ۲ d = ۲π ۱ cosh ۲ d. ۰ 9.6 قضایاي گرین - استوکس - دیورژانس 68

77 1.9.6 مقدمات تعریف 9.6. اگر نقطه ابتداي g(a)) A = (f(a), و نقطه انتهایی g(b)) B = (f(b), از منحنی c با معادلات R(t) = (t)i + y(t)j a t b = f(t), y = g(t) بر هم منطبق باشند آنگاه منحنی c را بسته می نامند. تعریف منحنی c را ساده نامیم هرگاه در بین نقاط,B A خودش را قطع نکند ) یک به یک باشد) یعنی t ۱, t ۲ (a, b) t ۱ t ۲ R(t ۱ ) R(t ۲ ) ساده و نه بسته بسته و ساده بسته و نه ساده ساده نه بسته ونه قضیه گرین - فرض کنید B قرص در صفحه R ۲ باشد که,M N روي آن تعریف شده و داراي مشتقات جزي ی مرتبه اول پیوسته و c منحنی بسته ساده و قطعه قطعه هموار در B باشد و R ناحیه تعریف شده توسط c باشد Md + Ndy = c R (N M y )da. آنگاه 69

78 اثبات. ابتدا داریم R(s) = i + yj = f(s)i + g(s)j c M(, y)d = = = M(, y)d + M(, y)d c ۱ c ۲ b a b a M(, f ۱ ())d + b a M(, f ۲ ())d [M(, f ۱ ()) M(, f ۲ ())]d از طرف دیگر R M y da = = = =b y=f۲ () =a b a b a y=f ۱ () M y dyd [ M(, y)] y=f ۲() y=f ۱ () d [M(, f ۱ ()) M(, f ۲ ())]d قضیه اگر R ناحیه اي باشد که مرزش منحنی بسته ساده قطعه قطعه هموار c و مساحت آن برابر با A واحد مربع باشد آنگاه A = ۱ ۲ c dy yd 70

79 ۱ dy yd = ۱ [ ۲ c ۲ R ( y) ] da = da. y R اثبات. با استفاده از قضیه گرین تعریف.13.6 اگر F = Mi + Nj آنگاه curlf = N M y divf = M + N y فرض کنید معادله برداري منحنی c بصورت زیر باشد P c P0 R(s) = i + yj = f(s)i + g(s)j R (s) = si + y sj dr ds = d ds i + dy ds j که s واحد طول قوس است dr ds T (s) = d بردار واحد مماس بر c در P است = T (s) dr = T (s)ds ds i + dy ds از طرفی j (F = Mi + Nj, dr = di + dyj) F dr = Md + Ndy. F T (s)ds = c R curlf da. در نتیجه 10.6 قضیه استوکس در صفحه F T (s)ds = c R curlf da. با مفروضات قبلی 71

80 مثال.14.6 اگر F = ۲yi + ۵j و R ناحیه محدود به دایره = ۱ ۲ ۲ + y باشد. از قبل داشتیم dr = T (s)ds di + dyj = T (s)ds طبق تعریف بردار N(s) بردار قاي م واحد c در P بر معادله زیر تعریف میشود dyi dj = N(s)ds (T (s)ds) (N(s)ds) = ۰ F N(s)ds = (Mi + Nj) (dyi dj) = Mdy Nd F N(s)ds = Nd + Mdy c c = [M ( N) y ]da R = [M + N y ]da R = divf da R 11.6 قضیه دیورژانس در صفحه F N(s)ds = c R divf da. با مفروضات قبلی داریم.N(s) = T s(s) T s(s) تبصره ddy = مثال.16.6 اگر v) y = g(u, و v) = f(u, در اینصورت det J dudv J = f u g u f v g v 72

81 حل. ddy = ۱ ۲ = ۱ ۲ = ۱ ۲ = ۱ ۲ = = dy yd c f(g u du + g v dv) g(f u du + f v dv) c (fg u gf u )du + (fg v gf v )dv c [(fg v gf v ) u (fg u gf u ) v ]dudv R (f u g v g u f v )dudv R f u f v dudv R g u g v 12.6 تمرینات 1. انتگرال هاي دوگانه زیر را محاسبه نماي ید: ۳ (۳ + ۲y)dyd ۰ ۰ ۱ ydyd ۰ ۱ ln ۲ ۲ ddy ۰ e y π ۲ ۰ e ۱ cos θ ۰ ۱ ۰ ρ sin θdρdθ e y dyd ۱ ۱ y ddy ۰ ۰ ۱ ۱ e ۲ ddy ۰ y ۱ e +y dyd ۰ ۰ ۲ y ۲ ddy ۰ y ۱ ۰ ۲ y dyd 73

82 ۱ ۱ e y ddy ۰ y ۱ ( ۲ + y ۲ )dyd ۰ ۰ π ۴ cos ۰ sin b a ۰ ۲ a۲ + y ۲ dyd e t ddt ( ۲ ) a۲ e + y۲ b۲ b۲ ۱ ۲ +y ۲ a ۲, ۰, y ۰ da = π e ab e (۲ +y ۲) da = π e ab + y ۲ +y ۲ ۱ ۲ ۲ y ۲ ۹π da = ۱۶ ۲ ۴ ۲ ydyd ۲ ۰ ۱ ۲z ۲y ۲ yzddydz ۰ ۰ ۰ ۱ y ۳ ydzdyd ۰ ۰ ۰ ۲ y ۲ ۱ y ( + ۲y)ddy 2. حاصل انتگرال زیر را به کمک قضیه گرین روي مسیر هاي خواسته شده زیر بیابید: (۷y ۳ + ۵)dy ( ۷ + ۴y)d c الف) منحنی c مثلثی به اضلاع,۳,۴ ۵ باشد. ب) منحنی c دایره اي به شعاع 2 و به مرکز (۲,۱) باشد. پ) منحنی c بیضی = ۳۶ ۲ ۴ ۲ + ۹y باشد. ت) منحنی c ذوزنقه اي که قطرهاي آن ۴ و ۳ ۵ و زاویه بین دو قطر آن ۶۰ o می باشد. 3. اگر R ناحیه اي باشد که مرزش منحنی بسته و ساده و قطعه قطعه هموار c و مساحت آن A واحد مربع باشد آنگاه A = ۱ ۲ c dy yd 74

83 75

84 فصل 7 تمرینات دوره اي 1.7 بردار خط و صفحه 1. کوتاهترین فاصله بین دو خط زیر را بیابید(طول عمود مشترك): l ۱ : = y ۲ = z ۳ l ۲ : +y ۲ = y = z + ۲ از صفحه = ۰ z ۲( ۱) + ۲(y + ۳) به فاصله 3 بیابید. ۱ ۲ = y+۱ ۳ = z+۵ ۷ 2. دو نقطه روي خط.3 اگر u = ۱۲i + ۹j ۵k و v = ۴i + ۳j ۵k باشد c را طوري بیابید که cu).u (v.4 براي دو بردار دلخواه u, v نشان دهید:. v u + u v v u u v.5 نشان دهید فاصله نقطه ) ۰ P ۰ = ( ۰, y ۰, z از صفحه = ۰ d a + by + cz + عبارتست از: h = a ۰ + by ۰ + cz ۰ + d a ۲ + b ۲ + c ۲..6 نشان دهید فاصله دو صفحه موازي = ۰ ۱ a + by + cz + d و = ۰ ۲ a + by + cz + d عبارتست از: 76

85 h = d ۱ d ۲ a ۲ + b ۲ + c ۲. 2.7 تابع برداري 1. تابع برداري R(t) = ۳ cos ti + ۳ sin tj + ۲k بردار مماس واحد بردار قاي م واحد بردار قاي م دوگانه واحد و انحنا را بدست آورید..2 تابع برداري R(t) = t ۲ i + (۴ + t)j + (۳ ۲t)k بردار مماس واحد بردار قاي م واحد بردار قاي م دوگانه واحد و انحنا را در = ۱ t بدست آورید..3 تابع برداري R(t) = ۳ cosh ti + ۳ sinh tj + tk بردار مماس واحد بردار قاي م واحد بردار قاي م دوگانه واحد را بدست آورید. انحنا عبارت است از κ. = a.4 تابع برداري R(t) = a cos ti + a sin tj + tk که > ۰ a a ۲ +۱ κ = y (۱ + y ۲ ) ۳/۲ 5. اگر f() y = باشد نشان دهید 6. اگر R یک معادله برداري منحنی c باشد نشان دهید انحنا توسط فرمول زیر بدست می آید: κ = R R R ۳/۲ T = R R N = B T B = R R R R همچنین داریم: 77

86 7. در توابع برداري زیر از t ۰ تا t ۱ طول قوس L را بیابید: R(t) = a cos ti + a sin tj + tk t ۰ = ۰, t ۱ = ۲π R(t) = (t + ۱)i t ۲ j + (۱ ۲t)k t ۰ = ۱, t ۱ = ۲ R(t) = ۲ti + cos ۲tj + ۲t ۳/۲ k t ۰ = ۰, t ۱ = ۱ R(t) = e t cos ti + e t sin tj + e t k t ۰ = ۰, t ۱ = ۳ R(t) = t ۲ i + (t + ۱ ۳ t۳ )j + (t ۱ ۳ t۳ )k t ۰ = ۰, t ۱ = ۱ R(t) = ۲t cos ti + ۵tj + ۲t sin tk R(t) = ۴t ۳/۲ i ۳ sin tj + ۳ cos tk t ۰ = ۰, t ۱ = ۲ 8. منحنی هاي زیر را رسم کنید: R(t) = ۲ cos ti + ۲ sin tj + ۳k R(t) = (۲t ۱)i + (t + ۱)j + (۳t ۱۲)k R(t) = i + tj + sin tk R(t) = ۲ cos ti + ۳ sin tj + ۱k 3.7 دامنه توابع چند متغیره 1. دامنه توابع زیر بیابید و نمودار آنرا رسم کنید: f(, y) = ۱ +y f(, y) = ۲ y ۲ y f(, y) = ۱ y f(, y) = ln(y ۱) f(, y) = ۳۶ ۴ ۲ ۹y ۲ 78

87 [ f(, y) = ۲ ] ۲ + ۱ + ۱ ۲ y ۲ [ ۲ y y ۲ ۲ ] f(, y) = ۲ + y ۲.2 دامنه و برد تابع ] ۲ f(, y) = [] + [ ۱ y را محاسبه و دامنه f را در R ۲ و نمودار آنرا در مجموعه ۱) (۰, ۳) [۱, رسم کنید. 4.7 حد توابع چند متغیره 1. حدود زیر را در صورت وجود بیابید: lim (,y) (۰,۰) (۱ + y) ۱ y lim (,y) (۰,۰) lim (,y) (۰,۰) lim (,y) (۰,۰) lim (,y) (۰,۰) lim (,y) (۱, ۱) lim (,y) (۱, ۲) lim (,y) (۰,۰) lim (,y) (۰,۱) lim (,y) (۰,۰) = e sin(y) = ۱ y e e y e e y ۲ y ۲ ۲ + y ۲ y ۲ + y ۲ ( ۱) ۹ (y + ۱) (( ۱) ۶ + (y + ۱) ۲ ) ۲ ( ۱) ۲ + y + ۲ ( ۱) ۲ + (y + ۲) ۲ ۲ + y ۲ + y ۲ + y y ۴ + ۳ ۲ y ۲ + ۲y ۳ ( ۲ + y ۲ ) ۲ lim ( + y) sin ۱ (,y) (۰,۰) lim (,y) (۰,۰) ( y ۲ + y ۲ + y sin ۱ ) 79

88 f f را بیابید: y و ۰) (, 2. براي تابع زیر حاصل هاي (y,۰) y ۲ y ۲ f(, y) = ۲ +y ۲, (, y) (۰, ۰) ۰. = y = ۰ 5.7 مشتق نسبی 1. نشان دهید توابع زیر در معادله لاپلاس صدق می کنند: u = arctan ۲y ۲ y ۲ u = a ln ۲ + y ۲ u = e sin y + e y cos u = arctan y + u = e ۳+۴y sin ۵z u = sinh sin y ۲ +y ۲ u = ۲ y y ۲ + y ۲ z z ۲ y + z ۲ ۲ z = ۱ u در معادله لاپلاس صدق می کند. 2. آیا تابع ۲ +y ۲ +z۲.3 فرض کنید sin(k) u = ۵ cos(kat) که a, k ثابت هستند. نشان دهید.u tt = a ۲ u.4 فرض کنید u = ۳y ۴y ۲, = ۲se r, y = re s باشد حاصل u rr رابیابید. z = ۲ + y ۲ = sin t y = e t dz d t=۰ =? z = ۲ y + ۲y ۲ = (t + ۱) ۲ y = t + t dz d t=۱ =? z = y dz =? u = e yz du( = y = z = ۰) =? 80

89 z = ۲ + y ۲ = e r۲ +s ۲ y = r s dz d =y=۱ =? z = ۲ + y z + yz y =? z = y ۲ +y ۲ z + yz y =? z = ۲ sin y + y۲ cos y z + yz y =? z = e y۵ z =? f = ۲ + ۲y + y ۲ + ۳ + ۵y f (۲, ۳) =? f = ۲ yz ۳z f z (۲, ۳, ۱) =? f = ۳ + ۳y + ۶y ۲ ۲ f y =? f = e yz + yze ۲ f y =? f = e cos y ۲ f ۲ y =? f = y + y ۲ f y =? f = ln( ۲ + y + y ۲ ) f y ( ۱, ۴) =? z = f( ۲ y ۳ ) ۳y ۲ z + ۲z y =? z = sin y + ln y yz y + z =? f(, y) = y y e cos t dt f, f y =? d dt b a f(, t)d = b a f(, t) d t 5. ثابت کنید: حاصل انتگرالهاي زیر را بدست آورید: ۰ سپس با محاسبه حاصل e pt dt ۰ t ۲ e pt dt ۰ t n e pt dt 81

90 6.7 مشتق سوي ی.1 مشتق سوي ی تابع f = z ۲ + y ۳ در امتداد بردار i + ۲j و در نقطه ۲) (۱, ۱, چقدر است 2. فرض کنید f داراي مشتقات نسبی پیوسته باشد و,u v دو بردار واحد باشند نشان دهید: D u D v f = D v D u f.3 مشتق سوي ی تابع ) ۲ f = ( ۲ y ۲ )( ۲ + y در امتداد بردار u و در نقطه ۱) (۱, برابر صفر است مطلوبست بردار u ۳ + i ۱ ۲ و در نقطه ۱) (۱, چقدر است.4 مشتق سوي ی تابع f = ln ۲ + y ۲ در امتداد بردار ۲ j 5. مشتق سوي ی تابع f در امتداد بردار u و در نقطه p را بدست آورید یعنی f(p) D: u f = e ۲y p = (۲, ۰) u = ۱ ۲ i + ۳ ۲ j f = ۲ yz ۳ p = (۱, ۱, ۱) v = i + ۲j + k f = ۲ e yz p = (۱, ۰, ۰) u = ۱ ۳ ( i + j + k) f = z ۲ + y ۳ p = (۱, ۱, ۲) u = ۱ ۵ (i + ۲j) f = cos(y) + e yz + ln(z) p = (۱, ۰, ۱/۲) v = i + ۲j + ۲k f = ۱ ۲ +y ۲ +z ۲ p = (۲, ۲, ۱) v = ۲i ۳j + ۶k 7.7 انتگرال منحنی الخط 1. نشان دهید تابع f وجود دارد بطوریکه f = ( ۴ ۳y)i + (۲y ۳ + ۴)j f = ۲y (y+۱) ۲ i + ۲ (y+۱) ۲ j 82

91 f = y ۲ +y ۲ i + ۲ +y ۲ j f = (e sin z + ۲yz)i + (۲z + ۲y)j + (e cos z + ۲y + ۳z ۲ )k f = (tan y + ۲y sec z)i + ( sec ۲ y + ۲ sec z)j + sec z( ۲ y tan z sec z)k 2. حاصل انتگرال منحنی الخط زیر را با نشان دادن مستقل از مسیر بودن آن و به کمک تابع گرادیان بیابید: (y ۲ + ۲ + ۴)d + (۲y + ۴y ۵)dy c که منحنی c نقطه (۰,۰) را به (۱,۱) وصل میکند. 3. حاصل انتگرال منحنی الخط زیر را با نشان دادن مستقل از مسیر بودن آن و به کمک تابع گرادیان بیابید: c ۲y (y + ۱) ۲ d + ۲ (y + ۱) ۲ dy که منحنی c نقطه (۲,۰) را به (۰,۱) وصل میکند. 4. حاصل انتگرال منحنی الخط زیر را با نشان دادن مستقل از مسیر بودن آن و به کمک تابع گرادیان بیابید: c y ۲ + y ۲ d + ۲ + y ۲ dy که منحنی = ۴ ۲ c : ۲ + y نقطه ۲) ۲, ( را به ۲) ۲, ( وصل میکند. 5. حاصل انتگرال منحنی الخط زیر را با نشان دادن مستقل از مسیر بودن آن و به کمک تابع گرادیان بیابید: (tan y + ۲y sec z)d + ( sec ۲ y + ۲ sec z)dy + sec z( ۲ y tan z sec z)dz c که منحنی c نقطه (۰,۴/π,۲) را به (π,۳),π وصل میکند. 6. حاصل انتگرال منحنی الخط زیر را با نشان دادن مستقل از مسیر بودن آن و به کمک تابع گرادیان بیابید: (y z)d + e dy + ydz c که منحنی c نقطه (۰,۱),۰ را به (۸,۳),۴ وصل میکند. 7. حاصل انتگرال منحنی الخط زیر را بیابید: 83

92 (y + ۲ )d + ۲ dy c که منحنی c : y = ۲ ۲ نقطه ۰) (۰, را به ۲) (۱, وصل میکند. c ۲d + (۲y ۱)dy 8. حاصل انتگرال منحنی الخط زیر را بیابید: که منحنی c : y = ۲ نقطه ۰) (۰, را به ۱) (۱, وصل میکند. 8.7 انتگرال دوگانه 1. انتگرال هاي دوگانه زیر را محاسبه نماي ید: ۱ ydyd ۰ ۱ ln ۲ ۲ ddy ۰ e y π ۲ cos θ ρ sin θdρdθ ۰ ۰ e ۱ ۱ ۰ e y dyd ۲ ۴ ۲ ydyd ۲ ۰ ۱ ۲z ۲y ۲ yzddydz ۰ ۰ ۰ ۱ y ۳ ydzdyd ۰ ۰ ۰ ۱ ۱ y ddy ۰ ۰ ۱ ۱ e ۲ ddy ۰ y ۱ e +y dyd ۰ ۰ ۲ ۰ y ۲ y ۱ ۰ ۲ ddy y dyd ۳ (۳ + ۲y)dyd ۰ ۰ 84

93 ۱ ( ۲ + y ۲ )dyd ۰ ۰ π ۴ cos dyd ۰ sin b e t ddt a ۰ + y ۲ +y ۲ ۱ ۲ ۲ y ۲ ۹π da = ۱۶ ( ۲ ) a۲ e + y۲ b۲ ۲ a۲ + y ۲ b۲ ۱ ۲ +y ۲ a ۲, ۰, y ۰ da = π e ab e (۲ +y ۲) da = π e ab ۲ y ۲ ۱ y ( + ۲y)ddy ۱ ۱ e y ddy ۰ y 2. حاصل انتگرال زیر را به کمک قضیه گرین روي مسیر هاي خواسته شده زیر بیابید: c (۷y۳ + ۵)dy ( ۷ + ۴y)d الف) منحنی c مثلثی به اضلاع,۳,۴ ۵ باشد. ب) منحنی c دایره اي به شعاع 2 و به مرکز (۲,۱) باشد. پ) منحنی c بیضی = ۳۶ ۲ ۴ ۲ + ۹y باشد. ت) منحنی c ذوزنقه اي که قطرهاي آن ۴ و ۳ ۵ و زاویه بین دو قطر آن ۶۰ o می باشد. آنگاه 3. اگر R ناحیه اي باشد که مرزش منحنی بسته و ساده و قطعه قطعه هموار c و مساحت آن A واحد مربع باشد A = ۱ ۲ c dy yd 85